（～が）分かる。推測や試行錯誤の結果、物事の理解に至ること。

まず初めに例文から見ていきましょう。

The person didn’t leave his name with the receptionist, but I was able to figure out who it was from the message he had left.
その人物は受付で名前を残さなかったが、私はその人物の残したメッセージの内容から誰なのか分かった。

上の例文の話者は、メッセージを残した人物が誰なのか初めは分かりませんでした。その人物は受付に名前を残さずに去ってしまったのです。ですが残されたメッセージの内容から、話者は思い当たる人物を推測し、そこから可能性のある人物を絞っていくなどして、その人物が誰なのかを突き止めることができました。

このように、思考や推測をめぐらせた結果、ある１つの答えにたどり着き、答えが「分かる」ことを figure out で言い表すことができます。

ですが、figure out を使うべき状況で、なかなかそれが出てこない人が多いようです。ありがちなミスは、figure out の代わりに find out を使ってしまっているケースです。

実際のところ、何かしらの努力の結果答えが分かったという状況で find out を使うことはあります。例えばインターネット検索の結果、探していた情報がネット上で見つかり答えが「分かった」場合などは find out を使います。find out はこのように、答えが「外部から」得られた場合に使われます。一方、自分の頭を使って推測し答えが得られた場合、つまり find out の「外部から」に対し、自分自身で考え「内部から」答えを得た場合に使われるのが figure out です。

この２つの違いを、具体的に例文で見ていきましょう。

I found out what my wife was making for dinner when I called her on my way home.
帰宅中に妻に電話をした時に、妻が夕飯に何を作っているのかが分かった。

上の例文では find out が使われているので、答えは「外部から」与えられた、ということが読み取れます。つまり、妻は夕飯に何を作っているのかを夫である話者に伝えたのです。

I figured out what my wife was making for dinner from the food she had bought at the supermarket.
妻がスーパーで買ってきた食材を見て、妻が夕飯に何を作るのか分かった。

こちらの例文では figure out が使われているので、答えは「内部から」分かった、すなわち話者が自らの推測によって答えを導き出した、ということが読み取れます。妻は夕飯に何を作るのかを夫である話者には伝えておらず、話者は妻の買ってきた食材から、普段妻が作る料理に入っている具材を思い出すなどして答えを導き出したのです。

figure out を使う際には、figure out のあとに 5W1H (who/what/when/where/why/how) が続く形をとるのが一般的です。

以下の例文で確認しましょう。

Even though I didn’t speak the language, I was able to figure out what the waiter was saying from his body language.
ウェイターの話す言語は分からなかったが、彼が何を言っているのかは彼の身振り手振りから分かった。

I figured out how to use the dryer without reading the instruction manual.
取扱説明書を読まなくても、ドライヤーの使い方が分かった。

If you know how much money you had before you started buying things and how much money you have left, you can figure out how much you spent.
買い物前と買い物後の所持金額が分かれば、出費がいくらだったのか分かる。

I can’t figure out why the DVD player is not working.
このDVDプレーヤーがなぜ動かないのか分からない。